次に PFH 側を考えます。PFH では VSG の全発生回数を数えるので、時刻 $t$ における VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を

$$ E\{N_{t+dt}^\text{VSG}-N_t^\text{VSG}\}=w_\text{VSG}(t)dt+o(dt) \tag{1077.1} $$

と定義します。

このとき、PFH 側の SPF 発生頻度は

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\} =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}dt+o(dt) \tag{1077.2} $$

より、

$$ w_\text{SPF}(t)=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\}}{dt} =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}} \tag{1077.3} $$

となります。

同様に、PFH 側の DPF 発生頻度は

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}}dt+o(dt) \tag{1077.4} $$

より、

$$ w_\text{DPF}(t)=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}}{dt}\\ =w_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1077.5} $$

となります。

よって、PFH 側の VSG 発生頻度は

$$ w_\text{VSG}(t)=w_\text{SPF}(t)+w_\text{DPF}(t) \tag{1077.6} $$

すなわち

$$ w_\text{VSG}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1077.7} $$

です。

(1077.9) と (1077.16) を比べると、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャの下でも、PMHF 側の $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の $w_\text{VSG}(t)$ は厳密には一致しません。その違いは、PMHF 側には「まだ一度も VSG が起きていない」ことを表す $N_t^\text{VSG}=0$ の条件が入っているのに対し、PFH 側にはその条件が無いことです。

この差をそのまま書けば、

$$ w_\text{VSG}(t)-f_\text{VSG}(t)=\Pr\{N_t^\text{VSG}\ge1,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{N_t^\text{VSG}\ge1,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1077.8} $$

となり、これは前二稿で見た「2 回目以降の VSG 発生の寄与」の時間局所版になっています。

以上より、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおいても、PMHF と PFH は厳密には異なる量であり、その違いは PMHF が初回発生だけを数え、PFH が全発生回数を数えるところから生じます。本稿では、その差が時間局所的にどこに現れるかを、$f_\text{VSG}(t)$ と $w_\text{VSG}(t)$ の形で明示しました。

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