生成行列による PMHF と PFH の対称比較

前二稿では、VSG 計数過程を用いることで、PMHF と PFH を行列を使わずに厳密比較し、その差が寿命区間内における 2 回目以降の VSG 発生の寄与であることを示しました。さらに、同じ IF と SM から成るサブシステムアーキテクチャに同じ rare-event 近似を適用すると、両者が同じ二次故障率式に帰着することを示しました。

本稿では、その結果を生成行列の言葉で書き直します。目的は、これまで PMHF 側と PFH 側で別々に提示していた行列導出を対称化し、両者の差と一致がどこに現れるかを共通の枠組みで確認することです。

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義されたサブシステム過程 $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ を考えます。状態集合を稼働集合 $\mathcal M$ と危険集合 $\mathcal P_\text{VSG}$ に分け、状態確率ベクトルを

$$ \mathbf p(t)=\bigl[\mathbf p_M(t)\ \mathbf p_P(t)\bigr] \tag{1075.1} $$

とします。ここで $\mathbf p_M(t)$ は時刻 $t$ において稼働集合 $\mathcal M$ にある確率成分、$\mathbf p_P(t)$ は危険集合 $\mathcal P_\text{VSG}$ にある確率成分です。

生成行列をブロック行列で

$$ Q= \begin{pmatrix} Q_{MM} & Q_{MP}\\ Q_{PM} & Q_{PP} \end{pmatrix} \tag{1075.2} $$

と書けば、前進方程式は

$$ \frac{d}{dt}\mathbf p(t)=\mathbf p(t)Q \tag{1075.3} $$

です。

まず PMHF 側では、VSG を吸収集合として扱います。このとき危険集合から稼働集合への戻りはなく、

$$ Q_{PM}=0, \qquad Q_{PP}=0 \tag{1075.4} $$

です。危険集合への到達確率を

$$ F_\text{VSG}(t)=\mathbf p_P(t)\mathbf 1 \tag{1075.5} $$

とおけば、その到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t)=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t)=\mathbf p_M(t)Q_{MP}\mathbf 1 \tag{1075.6} $$

となります。したがって PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1075.7} $$

です。

次に PFH 側では、同じ危険集合 $\mathcal P_\text{VSG}$ を修理可能な危険状態集合として扱います。このとき危険事象の発生頻度は、危険集合への総流入頻度として

$$ w_\text{VSG}(t)=\mathbf p_M(t)Q_{MP}\mathbf 1 \tag{1075.8} $$

と書けます。一方、危険状態の占有確率

$$ U_\text{VSG}(t)=\mathbf p_P(t)\mathbf 1 \tag{1075.9} $$

の時間変化は

$$ \frac{d}{dt}U_\text{VSG}(t)=\mathbf p_M(t)Q_{MP}\mathbf 1-\mathbf p_P(t)Q_{PM}\mathbf 1 \tag{1075.10} $$

であり、一般には $w_\text{VSG}(t)$ と一致しません。ここに、吸収型 PMHF と修理型 PFH の定義上の差が現れます。

PFH は危険事象の累積発生回数の期待値の時間平均であるから、

$$ \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}\int_0^T w_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1075.11} $$

です。

ここで、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャを用い、前稿と同じ rare-event 近似を適用すると、PMHF 側の到達密度と PFH 側の発生頻度はいずれも

$$ f_\text{VSG}(t)\approx w_\text{VSG}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}U_\text{SM}(t) \tag{1075.12} $$

となります。したがって、両者は同じ周期平均

$$ \frac{1}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1075.13} $$

を共有し、最終的に

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{PMHF}(T)\approx\mathrm{PFH}(0,T) &\approx& (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} \\ &&+ \frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \end{eqnarray} \tag{1075.14} $$

へ帰着します。

以上より、生成行列を用いても、PMHF と PFH の関係は前稿までの非行列導出と同じ構造を持つことが分かります。厳密には、PMHF は吸収集合への初回到達を、PFH は危険集合への反復進入を数えるため、両者の差は 2 回目以降の VSG 発生にあります。しかし同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャと同じ rare-event 近似の下では、その差は高次項に押し込められ、両者は同じ二次故障率式に帰着します。

これで、PMHF 側も PFH 側も、非行列導出と行列導出の両方で対称に比較できるようになりました。

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同じ rare-event 近似の下での PMHF 式と PFH 式

前稿では、同じ IF と SM から成るサブシステムアーキテクチャの下で、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を厳密に導出しました。その結果、両者の厳密差は、PMHF 側にだけ「まだ一度も VSG が起きていない」という条件が付くことに由来することが分かりました。

前二稿で見たとおり、その差は典型条件では実務上ほぼ無視できます。そこで本稿では、前稿で得た厳密式に同じ rare-event 近似を適用し、PMHF 式と PFH 式が同じ IF/SM モデルの下でどのように同じ二次故障率式へ帰着するかを示します。

前稿の結果をそのまま用いれば、PMHF 側の VSG 初回到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t)=\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1074.1} $$

であり、PFH 側の VSG 発生頻度は

$$ w_\text{VSG}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1074.2} $$

でした。

ここで、VSG 自体が希少事象であることから、

$$ \Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ A\}\approx\Pr\{A\} \tag{1074.3} $$

と近似できます。したがって、(1074.1) の両項に付いている $\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \cdots\}$ は、それぞれ対応する無条件確率に置き換えられます。

さらに、IF 側故障についても小確率近似 $\lambda_\text{IF}t\ll1$ を置けば、

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}=R_\text{IF}(t)=e^{-\lambda_\text{IF}t}\approx1 \tag{1074.4} $$

です。

また、IF 側故障が希少であるため、SM の潜在故障と IF の稼働の同時確率は、SM の時点不稼働確率 $U_\text{SM}(t)$ を用いて

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\approx U_\text{SM}(t) \tag{1074.5} $$

と近似できます。

したがって、(1074.1) は

$$ f_\text{VSG}(t)\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\lambda_{V,\text{IF,DPF}}U_\text{SM}(t) \tag{1074.6} $$

となり、同様に (1074.2) も

$$ w_\text{VSG}(t)\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\lambda_{V,\text{IF,DPF}}U_\text{SM}(t) \tag{1074.7} $$

となります。

ここに、前稿までは厳密には異なっていた PMHF 側の初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ が、同じ rare-event 近似の下で初めて一致することが現れます。すなわち、

$$ f_\text{VSG}(t)\approx w_\text{VSG}(t) \tag{1074.8} $$

です。

よって PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\frac{\lambda_{V,\text{IF,DPF}}}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt \tag{1074.9} $$

であり、PFH は

$$ \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}\int_0^T w_\text{VSG}(t)\,dt\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\frac{\lambda_{V,\text{IF,DPF}}}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt \tag{1074.10} $$

です。

ここで、SM エレメントの時点不稼働確率の周期平均については、2025 年の既報から

$$ \frac{1}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1074.11} $$

を用います。

また、IF 側の率分解は

$$ \lambda_{V,\text{IF,SPF}}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}, \qquad \lambda_{V,\text{IF,DPF}}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1074.12} $$

です。

(1074.11) と (1074.12) を (1074.9) および (1074.10) に代入すると、

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{PMHF}(T)\approx\mathrm{PFH}(0,T) &\approx& (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} \\ &&+ \frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \end{eqnarray} \tag{1074.13} $$

を得ます。

以上より、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャを用い、同じ rare-event 近似を置けば、PMHF と PFH は同じ二次故障率式に帰着します。前稿までで示した厳密差は、ここで初めて近似により落とされます。すなわち、両者の見かけ上の差は定義そのものの差ではなく、どのモデルを明示し、どの近似を採るかに依存して現れることが分かります。

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同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおける $f_\text{VSG}(t)$ と $w_\text{VSG}(t)$ の厳密導出

本稿では、その高次差をまだ落とさずに、同じ IF と SM から成る非冗長サブシステムアーキテクチャの上で、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を厳密に導出します。

ここでは、IF と SM に対応する確率過程をそれぞれ $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ および $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ とします。IF の稼働集合を $\mathcal M_\text{IF}$、SM の潜在故障集合を $\mathcal P_\text{SM}$ とします。また、IF の危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF}=\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1073.1} $$

と分割します。

このとき、IF の SPF 側および DPF 側への条件付き遷移率、すなわち Vesely 故障率を

$$ \lambda_{V,\text{IF,SPF}}(t)=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1073.2} $$

および

$$ \lambda_{V,\text{IF,DPF}}(t)=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1073.3} $$

と定義します。斉時指数IF故障プロセスとSPFとDPFの分岐を定数とすれば、$\lambda_{V,\text{IF,SPF}}(t)$と$\lambda_{V,\text{IF,DPF}}(t)$は定数として置けます。

まず PMHF 側を考えます。VSG の累積発生回数を表す計数過程を $(N_t^\text{VSG})_{t\ge0}$ とし、その初回発生時刻を

$$ \sigma_\text{VSG}=\inf\{t\ge0\mid N_t^\text{VSG}\ge1\} \tag{1073.4} $$

とします。PMHF 側では、時刻 $t$ までにまだ VSG が一度も発生していない条件の下でのみ、VSG 到達を数えます。

まず SPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が起きておらず、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の SPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ \Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\}\\ =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}dt+o(dt) \tag{1073.5} $$

です。したがって、これを $dt$ で割って $dt\to0$ とすると、PMHF 側の SPF 到達密度は

$$ f_\text{SPF}(t)=\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}} \tag{1073.6} $$

となります。

同様に DPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が起きておらず、かつ SM が潜在故障集合にあり IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の DPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ \Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}, \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}}dt+o(dt) \tag{1073.7} $$

です。したがって、PMHF 側の DPF 到達密度は

$$ f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.8} $$

となります。

よって、PMHF 側の VSG 初回到達密度は

$$ \begin{eqnarray} f_\text{VSG}(t)&=&f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\\ &=&\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ &&+\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.9} \end{eqnarray} $$

です。

次に PFH 側を考えます。PFH では VSG の全発生回数を数えるので、時刻 $t$ における VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を

$$ E\{N_{t+dt}^\text{VSG}-N_t^\text{VSG}\}=w_\text{VSG}(t)dt+o(dt) \tag{1073.10} $$

と定義します。

このとき、PFH 側の SPF 発生頻度は

$$ w_\text{SPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}} \tag{1073.12} $$

であり、DPF 発生頻度は

$$ w_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.13} $$

です。したがって、PFH 側の VSG 発生頻度は

$$ w_\text{VSG}(t)=w_\text{SPF}(t)+w_\text{DPF}(t) \tag{1073.14} $$

すなわち

$$ w_\text{VSG}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.15} $$

となります。

(1073.10) と (1073.15) を比べると、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャの下でも、PMHF 側の $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の $w_\text{VSG}(t)$ は厳密には一致しません。その違いは、PMHF 側には「まだ VSG が一度も起きていない」ことを表す $\sigma_\text{VSG}>t$ の条件が入っているのに対し、PFH 側にはその条件が無いことです。

この差をそのまま書けば、

$$ w_\text{VSG}(t)-f_\text{VSG}(t) =\Pr\{\sigma_\text{VSG}\le t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\sigma_\text{VSG}\le t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.16} $$

となり、これは前二稿で見た「2 回目以降の VSG 発生の寄与」の時間局所版になっています。

以上より、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおいても、PMHF と PFH は厳密には異なる量であり、その違いは PMHF が初回発生だけを数え、PFH が全発生回数を数えるところから生じます。

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10 FIT・1万時間では 2 回目以降の寄与はどれくらいか

前稿の (1071.8) は、PMHF と PFH の厳密差が、寿命区間 $[0,T]$ における 2 回目以降の VSG 発生の寄与であることを示していました。ここでは、その差が実用上どの程度の大きさになるのかを、一定危険故障率を仮定した典型例で見ておきます。

前稿の記号をそのまま使えば、

$$ \mathrm{PFH}(0,T)-\mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)\Pr\{N_T^\text{VSG}=n\} \tag{1072.1} $$

です。

ここで、VSG の発生率を一定とみなし、寿命区間内の VSG 発生回数 $N_T^\text{VSG}$ をポアソン分布で近似します。たとえば、危険故障率を 10 FIT、車両寿命を 1 万時間とすると、

$$ \lambda=10\,\mathrm{FIT}=10^{-8}\,\mathrm{h}^{-1}, \qquad T=10^{4}\,\mathrm{h}, \qquad \lambda T=10^{-4} \tag{1072.2} $$

です。この仮定の下で、前稿の PMHF と PFH はそれぞれ

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\Pr\{N_T^\text{VSG}\ge1\}=\frac{1-e^{-\lambda T}}{T}, \qquad \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}E\{N_T^\text{VSG}\}=\lambda \tag{1072.3} $$

ですから、厳密差そのものは

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{PFH}(0,T)-\mathrm{PMHF}(T)&=&\lambda-\frac{1-e^{-\lambda T}}{T}\approx4.99983334\times10^{-13}\,\mathrm{h}^{-1}\\ &=&4.99983334\times10^{-4}\,\mathrm{FIT} \tag{1072.4} \end{eqnarray} $$

となります。(1072.4) とほとんど同じ値になるのは、この条件では 3 回目以降の寄与がさらに極小だからです。

10 FIT という目標値に対する比で見れば、

$$ \frac{4.99983334\times10^{-4}}{10}\approx4.99983334\times10^{-5}\approx0.005\,\% \tag{1072.5} $$

です。

したがって、10 FIT・1 万時間という典型的な条件では、PMHF と PFH の厳密差は数値的には約 $5\times10^{-4}$ FIT にすぎず、2 回目以降の VSG 発生の寄与は実務上ほぼ無視できる範囲にあります。

この数値例が示しているのは、前稿の (1071.8) が表している「厳密な差」は存在するものの、多くの実用条件ではその差が十分小さい、ということです。

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