論理式だけによるIFUのPMHF式導出 その2

前回は、IF故障が発生した瞬間のVSG判定式から、VSG事象をSPF/RF枝とDPF枝に分解しました。

$$ \{VSG\}=\{VSG_\text{SPF/RF}\}\sqcup\{VSG_\text{DPF}\} \tag{1081.1} $$

ここで、$\sqcup$は排反和を表します。すなわち、2つの枝は重複せず、その和としてVSG事象を構成します。

前回得られた2つの枝は、次のように表されます。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \{VSG_\text{SPF/RF}\}\equiv\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\\ \{VSG_\text{DPF}\}\equiv\{\overline{IF}\cap DC_1\cap\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1081.2} $$

第1式は、IF故障がSM1のカバレッジ外にある枝です。第2式は、IF故障がSM1のカバレッジ内にあり、かつIF故障時点でSM1が故障している枝です。

ここで、$\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}$は、IF故障時点$\sigma_\text{IF}$においてSM1が故障状態であることを表します。連続時間では、IF故障とSM1故障が同時に発生する確率はほとんど確実に0です。したがって、IF故障時点でSM1が故障していることは、SM1故障がIF故障より前に発生していたことを意味します。

この時間順序を表すため、次の記号を導入します。

$$ A\prec_L B\Longleftrightarrow A\text{が先に発生し、その後、暴露時間}L\text{以内に}B\text{が発生する}\\ A\prec_L B\Longleftrightarrow \sigma_A<\sigma_B\le\sigma_A+L \tag{1081.3} $$

この記号により、DPF枝は次のように書き直せます。

$$ \{VSG_\text{DPF}\}\equiv\{\overline{SM}\prec_L(\overline{IF}\cap DC_1)\} \tag{1081.4} $$

(1081.4)は、SM1故障が先に発生し、その後、SM1によりVSG抑止されるはずだったIF故障が発生する枝です。この枝では、IF故障はSM1のカバレッジ内にありますが、SM1が先に故障しているため、IF故障時点でVSG抑止が成立しません。

次に、SM1故障の暴露時間を考えます。SM1故障がSM2により検出または修理されるかどうかにより、暴露時間は変わります。

SM2により検出されない場合、SM1故障は寿命$T$の間に潜在し得ます。一方、SM2により検出または修理される場合、SM1故障の暴露時間は点検間隔$\tau$に制限されます。

したがって、DPF枝は次の2つの排反事象に分解されます。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \{VSG_\text{DPF}\}=\{VSG_\text{MPF,lat}\}\sqcup\{VSG_\text{MPF,det}\}\\ \{VSG_\text{MPF,lat}\}\equiv\{(\overline{SM}\cap\overline{DC_2})\prec_T(\overline{IF}\cap DC_1)\}\\ \{VSG_\text{MPF,det}\}\equiv\{(\overline{SM}\cap DC_2)\prec_\tau(\overline{IF}\cap DC_1)\} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1081.5} $$

第1枝は、SM1故障がSM2により検出されない枝です。この枝では、暴露時間は$T$です。第2枝は、SM1故障がSM2により検出または修理される枝です。この枝では、暴露時間は$\tau$です。

ここから、各枝の確率をレアイベント近似で求めます。故障率$\lambda_X$を持つエレメント$X$が時間$L$内に故障する確率を、次のように近似します。

$$ \Pr\{\overline{X}\text{ in }L\}\approx\lambda_XL \tag{1081.6} $$

また、独立な2つの故障$A$と$B$について、時間$L$内で両方が発生する場合、$A$が先で$B$が後となる順序は、全体の半分として扱えます。

$$ \Pr\{A\prec_LB\}\approx\frac{1}{2}\Pr\{A\text{ in }L\}\Pr\{B\text{ in }L\} \tag{1081.7} $$

まず、SPF/RF枝を求めます。この枝では、IF故障がSM1のカバレッジ外にあります。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG_\text{SPF/RF}\} &\equiv& \{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\\ PMHF_\text{SPF/RF}(T) &=&\frac{1}{T}\Pr\{VSG_\text{SPF/RF}\}\\ &=&\frac{1}{T}\Pr\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\\ &\approx&\frac{1}{T}(1-DC_1)\lambda_\text{IF}T\\ &=&(1-DC_1)\lambda_\text{IF} \end{eqnarray} \tag{1081.8} $$

次に、MPF latent枝を求めます。この枝では、SM1故障がSM2により検出されず、暴露時間は$T$です。したがって、SM1故障が先に発生し、その後にIF故障が発生する順序付き二重故障として、次のようになります。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG_\text{MPF,lat}\} &\equiv& \{(\overline{SM}\cap\overline{DC_2})\prec_T(\overline{IF}\cap DC_1)\}\\ PMHF_\text{MPF,lat}(T) &=&\frac{1}{T}\Pr\{VSG_\text{MPF,lat}\}\\ &\approx&\frac{1}{T}\cdot\frac{1}{2}(1-DC_2)\lambda_\text{SM}T\cdot DC_1\lambda_\text{IF}T\\ &=&\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}(1-DC_2)T \end{eqnarray} \tag{1081.9} $$

次に、MPF detected枝を求めます。この枝では、SM1故障がSM2により検出または修理されるため、暴露時間は$\tau$です。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG_\text{MPF,det}\} &\equiv& \{(\overline{SM}\cap DC_2)\prec_\tau(\overline{IF}\cap DC_1)\}\\ PMHF_\text{MPF,det}(T) &=&\frac{1}{T}\Pr\{VSG_\text{MPF,det}\}\\ &\approx&\frac{1}{T}\cdot\frac{1}{2}DC_2\lambda_\text{SM}T\cdot DC_1\lambda_\text{IF}\tau\\ &=&\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}DC_2\tau \end{eqnarray} \tag{1081.10} $$

以上より、IFUの場合のPMHFは、SPF/RF枝、MPF latent枝、MPF detected枝の和として得られます。

$$ \begin{eqnarray} PMHF_\text{IFU}(T) &\approx&PMHF_\text{SPF/RF}(T)+PMHF_\text{MPF,lat}(T)+PMHF_\text{MPF,det}(T)\\ &\approx&(1-DC_1)\lambda_\text{IF} +\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}(1-DC_2)T +\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}DC_2\tau\\ &=&(1-DC_1)\lambda_\text{IF} +\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\{(1-DC_2)T+DC_2\tau\} \end{eqnarray} \tag{1081.11} $$

最後に、規格の記法に合わせて、$DC_1=K_{\text{SM1,RF}}$、$DC_2=K_{\text{SM2,DPF}}$と置きます。

$$ \begin{eqnarray} PMHF_\text{IFU}(T) &\approx& (1-K_{\text{SM1,RF}})\lambda_\text{IF}\\ &&+\frac{1}{2}K_{\text{SM1,RF}}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \{(1-K_{\text{SM2,DPF}})T+K_{\text{SM2,DPF}}\tau\} \end{eqnarray} \tag{1081.12} $$

これにより、IFUの場合のPMHF式が得られました。

この導出では、まずVSGをSPF/RF枝とDPF枝に分解し、次にDPF枝を暴露時間$T$の枝と$\tau$の枝に分解しました。その結果、$DC_1$はIF故障がSM1によりVSG抑止される範囲を表し、$DC_2$はSM1故障の暴露時間を$T$から$\tau$へ短縮する割合として現れます。

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論理式だけによるIFUのPMHF式導出 その1

PMHF式は、故障シナリオを工学的に分解することでも導くことができます。ここでは、IFが修理されないIFU、IF unrepairableの場合を扱います。

$\overline{IF}$をIFの故障、$\overline{SM}$をSM1の故障とします。$DC_1$は、IF故障がSM1のカバレッジ内にある事象を表します。

まず、IF故障が発生した瞬間のVSG判定式を置きます。IF故障は、SM1が正常に動作し、かつそのIF故障がSM1のカバレッジ内にある場合にだけVSG抑止されます。したがって、VSGは次のように表されます。

$$ \{VSG\}=\{\overline{IF}\setminus(SM_{\sigma_\text{IF}}\cap DC_1)\} \tag{1080.1} $$

ここで、$SM_{\sigma_\text{IF}}$は、IF故障時点でSM1が正常であることを表します。したがって、(1080.1)は、IF故障から、IF故障時点でSM1によりVSG抑止される部分を除いた式です。

まず、差集合を積集合に変換し、さらにド・モルガンの法則を用います。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG\}&=&\{\overline{IF}\cap\overline{(SM_{\sigma_\text{IF}}\cap DC_1)}\}\\ &=&\{\overline{IF}\cap(\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cup\overline{DC_1})\} \end{eqnarray} \tag{1080.2} $$

(1080.2)は、IF故障時点で、SM1が故障しているか、またはIF故障がSM1のカバレッジ外であればVSGになることを表します。

次に、(1080.2)の右辺に現れる条件$\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cup\overline{DC_1}$をMECEに分解します。

$$ \begin{eqnarray} \overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cup\overline{DC_1} &=&(\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}) \sqcup (\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cap DC_1) \sqcup (SM_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}) \end{eqnarray} \tag{1080.3} $$

この分解は、VSGになる条件だけを3通りに分けたものです。

1つ目は、IF故障時点でSM1が故障しており、かつIF故障がSM1のカバレッジ外にある場合です。

2つ目は、IF故障時点でSM1が故障しており、かつIF故障がSM1のカバレッジ内にある場合です。

3つ目は、IF故障時点でSM1は正常であり、かつIF故障がSM1のカバレッジ外にある場合です。

したがって、VSG事象は次の3つの排反事象に分かれます。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG\} &=&\{\overline{IF}\cap\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}\} \sqcup \{\overline{IF}\cap\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cap DC_1\}\\ &&\sqcup \{\overline{IF}\cap SM_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}\} \end{eqnarray} \tag{1080.4} $$

ここで、VSGになる3つの枝を故障分類の観点で整理します。

まず、(1080.4)の第1項と第3項は、どちらもIF故障がSM1のカバレッジ外にある枝です。第1項ではSM1も故障していますが、IF故障がカバレッジ外であるため、SM1が正常であってもVSGに至ります。したがって、この2つはSPFまたはRF側にまとめられます。

$$ \begin{eqnarray} \{\overline{IF}\cap\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}\} \sqcup \{\overline{IF}\cap SM_{\sigma_\text{IF}}\cap\overline{DC_1}\} &=&\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\cap(\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\sqcup SM_{\sigma_\text{IF}})\}\\ &=&\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\equiv\{VSG_\text{SPF/RF}\} \end{eqnarray} \tag{1080.5} $$

SPF/RF側の条件は、IF故障がSM1のカバレッジ外にあることです。したがって、(1080.4)の第1項と第3項は、SM1の状態にかかわらず、そのIF故障だけでVSGに至るSPFまたはRF側の枝としてまとめられます。

一方、(1080.4)の第2項は、IF故障がSM1のカバレッジ内であり、かつIF故障時点でSM1が故障している枝です。

$$ \{\overline{IF}\cap DC_1\cap\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\}\equiv\{VSG_\text{DPF}\} \tag{1080.6} $$

DPF側の条件は、IF故障がSM1のカバレッジ内にあり、かつIF故障時点でSM1が故障していることです。これは、IF故障とSM1故障の組合せによりVSGに至る枝であり、MPFのうち2個の故障によるDPFに対応します。

以上より、VSG事象は、最終的に次の2つの排反事象に整理されます。

$$ \{VSG\}=\{VSG_\text{SPF/RF}\}\sqcup\{VSG_\text{DPF}\} \tag{1080.7} $$

ここまでで、VSG事象はSPF/RF枝とDPF枝に排反分解されました。次回は、DPF枝に含まれる$\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}$の意味を時間順序として表し、さらに暴露時間により分解します。

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$X$が確率変数、$Y$が可積分確率変数であるとき、期待値のTower property $$\mathbb E\{\mathbb E\{Y\mid X\}\} = \mathbb E\{Y\}$$ の証明を離散と連続を対応させて書くと、次のようになります。

離散の場合

$$\mathbb E\{\mathbb E\{Y\mid X\}\} = \sum_x \mathbb E\{Y\mid X=x\}\,\Pr\{X=x\}$$ ここで、 $$\mathbb E\{Y\mid X=x\} = \sum_y y\,\Pr\{Y=y\mid X=x\}$$ なので、 $$\begin{aligned} \mathbb E\{\mathbb E\{Y\mid X\}\} &= \sum_x \left[ \sum_y y\,\Pr\{Y=y\mid X=x\} \right] \Pr\{X=x\} \\ &= \sum_x\sum_y y\,\Pr\{Y=y\mid X=x\}\Pr\{X=x\} \\ &= \sum_x\sum_y y\,\Pr\{X=x,Y=y\} \\ &= \mathbb E\{Y\}. \end{aligned}$$ 最後の変形は、 $$\Pr\{Y=y\mid X=x\}\Pr\{X=x\}=\Pr\{X=x,Y=y\}$$ を使っています。

連続の場合

$$\mathbb E\{\mathbb E\{Y\mid X\}\} = \int_{-\infty}^{\infty} \mathbb E\{Y\mid X=x\}\,f_X(x)\,dx$$ ここで、 $$\mathbb E\{Y\mid X=x\}= \int_{-\infty}^{\infty} y\,f_{Y\mid X=x}(y)\,dy$$ なので、 $$\begin{aligned} \mathbb E\{\mathbb E\{Y\mid X\}\} &= \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} y\,f_{Y\mid X=x}(y)\,dy \right] f_X(x)\,dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} y\,f_{Y\mid X=x}(y)f_X(x)\,dy\,dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} y\,f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx \\ &= \mathbb E\{Y\}. \end{aligned}$$ 最後の変形は、 $$f_{Y\mid X=x}(y)f_X(x)=f_{X,Y}(x,y)$$ を使っています。

対応表

$$\begin{array}{c|c} \text{離散} & \text{連続} \\ \hline \sum_x & \int dx \\ \Pr\{X=x\} & f_X(x)\,dx \\ \Pr\{Y=y\mid X=x\} & f_{Y\mid X=x}(y)\,dy \\ \Pr\{X=x,Y=y\} & f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy \\ \sum_x\sum_y y\,\Pr\{X=x,Y=y\} & \int\int y\,f_{X,Y}(x,y)\,dy\,dx \end{array}$$ $f_X(x)$が確率密度であって確率でない理由は、離散の場合の $$\Pr\{X=x\}$$ に対応する連続の場合の量は、 $$f_X(x)\,dx$$ です。 したがって、連続の場合に式の中で $f_X(x)$ が出てくるのは、積分記号の $dx$ と一緒になって $$f_X(x)\,dx$$ という確率要素を作っているからです。

注意として、条件付き期待値 $\mathbb{E}\{Y\mid X\}$ は厳密には略記であり、本来は $X$ が生成する $\sigma$-field に関する条件付き期待値 $$ \mathbb{E}\{Y\mid \sigma(X)\} $$ を意味します。ここで $Y$ は可積分確率変数です。

この条件付き期待値は $\sigma(X)$-可測な確率変数であるため、ある可測関数 $g$ により $$ \mathbb{E}\{Y\mid \sigma(X)\}=g(X) $$ と表せます。

離散の場合には、$\Pr\{X=x\}>0$ であれば $$ g(x)=\mathbb{E}\{Y\mid X=x\} $$ と通常の条件付き期待値として解釈できます。

一方、連続の場合には通常 $$ \Pr\{X=x\}=0 $$ です。そのため、$\mathbb{E}\{Y\mid X=x\}$ は、事象 $\{X=x\}$ の下で条件付けた期待値ではありません。これは、上の関数 $g$ の値 $g(x)$ を表す慣用的な略記です。

密度が存在する場合には、この $g(x)$ は $$ g(x)=\int_{-\infty}^{\infty} y f_{Y\mid X=x}(y)\,dy $$ と書けます。ただし、ここでの $f_{Y\mid X=x}(y)$ も、確率ゼロの事象 $\{X=x\}$ による条件付けではなく、条件付き密度として定義されるものです。

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同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおける $w_\text{VSG}(t)$ の導出

前稿では、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ を導出しました。本稿では、同じ IF と SM から成る非冗長サブシステムアーキテクチャの上で、PFH 側の VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を導出します。

PFH では、VSG の初回発生だけではなく、観測区間内に発生する VSG の全発生回数を数えます。したがって、VSG 計数過程 $(N_t^\text{VSG})_{t\ge0}$ に対して、時刻 $t$ における VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を

$$ E\{N_{t+dt}^\text{VSG}-N_t^\text{VSG}\} =w_\text{VSG}(t)dt+o(dt) \tag{1077.1} $$

と定義します。

PMHF 側では $N_t^\text{VSG}=0$ という初回到達条件が入りました。一方、PFH 側ではこの条件を付けません。そのため、時刻 $t$ における IF および SM の状態から、次の微小時間 $dt$ における VSG 発生を数えます。

PFH 側では IF を repairable process として扱うため、IF が時刻 $t$ に稼働集合にある確率を

$$ A_\text{IF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}, \qquad U_\text{SM}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\} \tag{1077.2} $$

と表します。ここで、$A_\text{IF}(t)$ は IF の availability、$U_\text{SM}(t)$ は SM が潜在故障集合にある確率です。

まず、状態過程から得られる一般形を導出します。SPF 項について、時刻 $t$ に IF が稼働集合にあり、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の SPF 側故障によって VSG が発生する確率は

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\}\\ =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF} \mid \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\\ =A_\text{IF}(t)\lambda_{v,\text{IF,SPF}}(t)dt+o(dt) \tag{1077.3} $$

です。したがって、状態過程から得られる PFH 側の SPF 発生頻度は

$$ w_\text{SPF}^{\text{gen}}(t) =A_\text{IF}(t)\lambda_{v,\text{IF,SPF}}(t) \tag{1077.4} $$

となります。

同様に DPF 項について、時刻 $t$ に SM が潜在故障集合にあり、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の DPF 側故障によって VSG が発生する確率は、IF fault と SM fault の独立性より

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}, \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\} \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =U_\text{SM}(t)A_\text{IF}(t)\lambda_{v,\text{IF,DPF}}(t)dt+o(dt) \tag{1077.5} $$

です。したがって、状態過程から得られる PFH 側の DPF 発生頻度は

$$ w_\text{DPF}^{\text{gen}}(t) =U_\text{SM}(t)A_\text{IF}(t)\lambda_{v,\text{IF,DPF}}(t) \tag{1077.6} $$

となります。

よって、状態過程から得られる PFH 側の VSG 発生頻度は

$$ w_\text{VSG}^{\text{gen}}(t) =w_\text{SPF}^{\text{gen}}(t)+w_\text{DPF}^{\text{gen}}(t)\\ =A_\text{IF}(t) \{\lambda_{v,\text{IF,SPF}}(t) +U_\text{SM}(t)\lambda_{v,\text{IF,DPF}}(t)\} \tag{1077.7} $$

です。

一方、標準的な PFH 簡略式との比較では、状態依存の一般形 $w_\text{VSG}^{\text{gen}}(t)$ ではなく、定数故障率パラメータによる reduced representation を用います。この標準簡略形を

$$ w_\text{VSG}^{\text{std}}(t) \approx \lambda_{\text{IF,SPF}} +U_\text{SM}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}} \tag{1077.8} $$

と表します。ここで、$w_\text{VSG}^{\text{std}}(t)$ は $w_\text{VSG}^{\text{gen}}(t)$ の恒等変形ではありません。$A_\text{IF}(t)\lambda_{v,\text{IF}}(t)=\lambda_\text{IF}$ と仮定しているのではなく、標準 PFH 簡略式で用いられる定数故障率パラメータによる reduced representation を別途導入しています。

式 (1077.9) の簡略形でも、$U_\text{SM}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}}$ は、SM が潜在故障状態にあるときに IF の DPF 側故障が発生するシナリオを表しています。省略されているのは、SM の潜在故障ではなく、IF 側の availability factor $A_\text{IF}(t)$ および Vesely 故障率の状態依存性です。

前稿で導出した PMHF 側の VSG 初回到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t) =R_\text{IF}(t)\left(\lambda_{\text{IF,SPF}}+U_\text{SM}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}}\right) \tag{1077.9} $$

でした。これに対し、PFH 側の一般形では $N_t^\text{VSG}=0$ という初回到達条件が入らないため、$R_\text{IF}(t)$ ではなく $A_\text{IF}(t)$ が現れ、さらに時刻 $t$ の状態に依存する Vesely 故障率が現れます。一方、標準 PFH 簡略式では、それらを陽に扱わない reduced representation として式 (1077.9) を用います。

以上より、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおいても、PMHF 側の $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の発生頻度は一般には一致しません。PFH 側では、時刻 $t$ の状態からの VSG 発生を計数過程として数えるため、初回到達条件を含まないことが本質的な違いです。

本稿はRAMS 2027に投稿予定であるため、重要な数式を一部秘匿しています。

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同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおける $f_\text{VSG}(t)$ の導出

前二稿では、PMHF と PFH の厳密差が寿命区間内における 2 回目以降の VSG 発生の寄与であること、また典型条件ではその差が実務上ほぼ無視できることを確認しました。本稿では、その差をまだ近似で落とさずに、同じ IF と SM から成る非冗長サブシステムアーキテクチャの上で、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ を導出します。

ここでは、IF に対応する確率過程 $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ と SM に対応する確率過程 $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ を考えます。IF の稼働集合を $\mathcal M_\text{IF}$、SM の稼働集合を $\mathcal M_\text{SM}$、SM の潜在故障集合を $\mathcal P_\text{SM}$ とします。また、IF の危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF} =\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1076.1} $$

と分割します。

IF が時刻 $t$ に稼働集合にある確率を

$$ R_\text{IF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} \tag{1076.2} $$

と表します。また、SM の可用性と潜在故障確率を

$$ A_\text{SM}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal M_\text{SM}\}, \qquad U_\text{SM}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\} \tag{1076.3} $$

と表します。ここで、$A_\text{SM}(t)$ は SM が時刻 $t$ に稼働集合にある確率であり、$U_\text{SM}(t)$ は SM が潜在故障集合にある確率です。

次に、前稿で導入した VSG 計数過程 $(N_t^\text{VSG})_{t\ge0}$ を用います。VSG の初回発生時刻を $\sigma_\text{VSG}$ とすると、時刻 $t$ までにまだ VSG が発生していない確率は

$$ R_\text{VSG}(t)=\Pr\{N_t^\text{VSG}=0\} =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t\} \tag{1076.4} $$

です。PMHF 側では、時刻 $t$ までにまだ VSG が発生していないという条件の下でのみ、次の微小時間 $dt$ における VSG 到達を数えます。本サブシステムモデルでは、VSG は IF 故障によってのみ発生するため、IF 遷移の直前では $\sigma_\text{VSG}>t$ は IF が時刻 $t$ まで稼働していることを意味します。

IF の SPF 側および DPF 側への Vesely 故障率を、稼働集合から各故障集合への条件付き遷移率として

$$ \lambda_{v,\text{IF,SPF}}(t) =\lim_{dt\to0} \frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF} \mid \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt}, \\ \lambda_{v,\text{IF,DPF}}(t) =\lim_{dt\to0} \frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF} \mid \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1076.5} $$

と定義します。

まず SPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が発生しておらず、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の SPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ F_\text{SPF}(t+dt)-F_\text{SPF}(t) =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\}\\ =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t\} \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF} \mid \sigma_\text{VSG}>t\}\\ =R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,SPF}}dt+o(dt) \tag{1076.6} $$

です。したがって、PMHF 側の SPF 初回到達密度は両辺を$dt$で割って$dt\rightarrow0$とすれば

$$ f_\text{SPF}(t) =R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,SPF}} \tag{1076.7} $$

となります。

同様に DPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が発生しておらず、SM が潜在故障集合にあり、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の DPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ F_\text{DPF}(t+dt)-F_\text{DPF}(t) =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\} \Pr\{\sigma_\text{VSG}>t, \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =U_\text{SM}(t)\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t\} \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF} \mid \sigma_\text{VSG}>t\}\\ =U_\text{SM}(t)R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}}dt+o(dt) \tag{1076.8} $$

です。ここでは、IF fault と SM fault の独立性を用いています。したがって、PMHF 側の DPF 初回到達密度は同様に、両辺を$dt$で割って$dt\rightarrow0$とすれば

$$ f_\text{DPF}(t) =U_\text{SM}(t)R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}} \tag{1076.9} $$

となります。

よって、PMHF 側の VSG 初回到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t) =f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t) f_\text{VSG}(t) =R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,SPF}} +U_\text{SM}(t)R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}}\\ =R_\text{IF}(t)\left(\lambda_{\text{IF,SPF}}+U_\text{SM}(t)\lambda_{\text{IF,DPF}}\right) \tag{1076.10} $$

です。

本稿はRAMS 2027に投稿予定であるため、重要な数式を一部秘匿しています。

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生成行列による PMHF と PFH の対称比較

前二稿では、VSG 計数過程を用いることで、PMHF と PFH を行列を使わずに厳密比較し、その差が寿命区間内における 2 回目以降の VSG 発生の寄与であることを示しました。さらに、同じ IF と SM から成るサブシステムアーキテクチャに同じ rare-event 近似を適用すると、両者が同じ二次故障率式に帰着することを示しました。

本稿では、その結果を生成行列の言葉で書き直します。目的は、これまで PMHF 側と PFH 側で別々に提示していた行列導出を対称化し、両者の差と一致がどこに現れるかを共通の枠組みで確認することです。

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義されたサブシステム過程 $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ を考えます。状態集合を稼働集合 $\mathcal M$ と危険集合 $\mathcal P_\text{VSG}$ に分け、状態確率ベクトルを

$$ \mathbf p(t)=\bigl[\mathbf p_M(t)\ \mathbf p_P(t)\bigr] \tag{1075.1} $$

とします。ここで $\mathbf p_M(t)$ は時刻 $t$ において稼働集合 $\mathcal M$ にある確率成分、$\mathbf p_P(t)$ は危険集合 $\mathcal P_\text{VSG}$ にある確率成分です。

生成行列をブロック行列で

$$ Q= \begin{pmatrix} Q_{MM} & Q_{MP}\\ Q_{PM} & Q_{PP} \end{pmatrix} \tag{1075.2} $$

と書けば、前進方程式は

$$ \frac{d}{dt}\mathbf p(t)=\mathbf p(t)Q \tag{1075.3} $$

です。

まず PMHF 側では、VSG を吸収集合として扱います。このとき危険集合から稼働集合への戻りはなく、

$$ Q_{PM}=0, \qquad Q_{PP}=0 \tag{1075.4} $$

です。危険集合への到達確率を

$$ F_\text{VSG}(t)=\mathbf p_P(t)\mathbf 1 \tag{1075.5} $$

とおけば、その到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t)=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t)=\mathbf p_M(t)Q_{MP}\mathbf 1 \tag{1075.6} $$

となります。したがって PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1075.7} $$

です。

次に PFH 側では、同じ危険集合 $\mathcal P_\text{VSG}$ を修理可能な危険状態集合として扱います。このとき危険事象の発生頻度は、危険集合への総流入頻度として

$$ w_\text{VSG}(t)=\mathbf p_M(t)Q_{MP}\mathbf 1 \tag{1075.8} $$

と書けます。一方、危険状態の占有確率

$$ U_\text{VSG}(t)=\mathbf p_P(t)\mathbf 1 \tag{1075.9} $$

の時間変化は

$$ \frac{d}{dt}U_\text{VSG}(t)=\mathbf p_M(t)Q_{MP}\mathbf 1-\mathbf p_P(t)Q_{PM}\mathbf 1 \tag{1075.10} $$

であり、一般には $w_\text{VSG}(t)$ と一致しません。ここに、吸収型 PMHF と修理型 PFH の定義上の差が現れます。

PFH は危険事象の累積発生回数の期待値の時間平均であるから、

$$ \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}\int_0^T w_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1075.11} $$

です。

ここで、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャを用い、前稿と同じ rare-event 近似を適用すると、PMHF 側の到達密度と PFH 側の発生頻度はいずれも

$$ f_\text{VSG}(t)\approx w_\text{VSG}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}U_\text{SM}(t) \tag{1075.12} $$

となります。したがって、両者は同じ周期平均

$$ \frac{1}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1075.13} $$

を共有し、最終的に

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{PMHF}(T)\approx\mathrm{PFH}(0,T) &\approx& (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} \\ &&+ \frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \end{eqnarray} \tag{1075.14} $$

へ帰着します。

以上より、生成行列を用いても、PMHF と PFH の関係は前稿までの非行列導出と同じ構造を持つことが分かります。厳密には、PMHF は吸収集合への初回到達を、PFH は危険集合への反復進入を数えるため、両者の差は 2 回目以降の VSG 発生にあります。しかし同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャと同じ rare-event 近似の下では、その差は高次項に押し込められ、両者は同じ二次故障率式に帰着します。

これで、PMHF 側も PFH 側も、非行列導出と行列導出の両方で対称に比較できるようになりました。

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同じ rare-event 近似の下での PMHF 式と PFH 式

前稿では、同じ IF と SM から成るサブシステムアーキテクチャの下で、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を厳密に導出しました。その結果、両者の厳密差は、PMHF 側にだけ「まだ一度も VSG が起きていない」という条件が付くことに由来することが分かりました。

前二稿で見たとおり、その差は典型条件では実務上ほぼ無視できます。そこで本稿では、前稿で得た厳密式に同じ rare-event 近似を適用し、PMHF 式と PFH 式が同じ IF/SM モデルの下でどのように同じ二次故障率式へ帰着するかを示します。

前稿の結果をそのまま用いれば、PMHF 側の VSG 初回到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t)=\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1074.1} $$

であり、PFH 側の VSG 発生頻度は

$$ w_\text{VSG}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1074.2} $$

でした。

ここで、VSG 自体が希少事象であることから、

$$ \Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ A\}\approx\Pr\{A\} \tag{1074.3} $$

と近似できます。したがって、(1074.1) の両項に付いている $\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \cdots\}$ は、それぞれ対応する無条件確率に置き換えられます。

さらに、IF 側故障についても小確率近似 $\lambda_\text{IF}t\ll1$ を置けば、

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}=R_\text{IF}(t)=e^{-\lambda_\text{IF}t}\approx1-\lambda_\text{IF}t\approx1 \tag{1074.4} $$

です。

また、IF 側故障が希少であるため、SM の潜在故障と IF の稼働の同時確率は、SM の時点不稼働確率 $U_\text{SM}(t)$ を用いて

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\approx U_\text{SM}(t) \tag{1074.5} $$

と近似できます。

したがって、(1074.1) は

$$ f_\text{VSG}(t)\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\lambda_{V,\text{IF,DPF}}U_\text{SM}(t) \tag{1074.6} $$

となり、同様に (1074.2) も

$$ w_\text{VSG}(t)\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\lambda_{V,\text{IF,DPF}}U_\text{SM}(t) \tag{1074.7} $$

となります。

ここに、前稿までは厳密には異なっていた PMHF 側の初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ が、同じ rare-event 近似の下で初めて一致することが現れます。すなわち、

$$ f_\text{VSG}(t)\approx w_\text{VSG}(t) \tag{1074.8} $$

です。

よって PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\frac{\lambda_{V,\text{IF,DPF}}}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt \tag{1074.9} $$

であり、PFH は

$$ \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}\int_0^T w_\text{VSG}(t)\,dt\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\frac{\lambda_{V,\text{IF,DPF}}}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt \tag{1074.10} $$

です。

ここで、SM エレメントの時点不稼働確率の周期平均については、2025 年の既報から

$$ \frac{1}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1074.11} $$

を用います。

また、IF 側の率分解は

$$ \lambda_{V,\text{IF,SPF}}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}, \qquad \lambda_{V,\text{IF,DPF}}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1074.12} $$

です。

(1074.11) と (1074.12) を (1074.9) および (1074.10) に代入すると、

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{PMHF}(T)\approx\mathrm{PFH}(0,T) &\approx& (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} \\ &&+ \frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \end{eqnarray} \tag{1074.13} $$

を得ます。

以上より、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャを用い、同じ rare-event 近似を置けば、PMHF と PFH は同じ二次故障率式に帰着します。前稿までで示した厳密差は、ここで初めて近似により落とされます。すなわち、両者の見かけ上の差は定義そのものの差ではなく、どのモデルを明示し、どの近似を採るかに依存して現れることが分かります。

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同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおける $f_\text{VSG}(t)$ と $w_\text{VSG}(t)$ の厳密導出

本稿では、その高次差をまだ落とさずに、同じ IF と SM から成る非冗長サブシステムアーキテクチャの上で、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を厳密に導出します。

ここでは、IF と SM に対応する確率過程をそれぞれ $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ および $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ とします。IF の稼働集合を $\mathcal M_\text{IF}$、SM の潜在故障集合を $\mathcal P_\text{SM}$ とします。また、IF の危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF}=\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1073.1} $$

と分割します。

このとき、IF の SPF 側および DPF 側への条件付き遷移率、すなわち Vesely 故障率を

$$ \lambda_{V,\text{IF,SPF}}(t)=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1073.2} $$

および

$$ \lambda_{V,\text{IF,DPF}}(t)=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1073.3} $$

と定義します。 まず PMHF 側を考えます。VSG の累積発生回数を表す計数過程を $(N_t^\text{VSG})_{t\ge0}$ とし、その初回発生時刻を

$$ \sigma_\text{VSG}=\inf\{t\ge0\mid N_t^\text{VSG}\ge1\} \tag{1073.4} $$

とします。PMHF 側では、時刻 $t$ までにまだ VSG が一度も発生していない条件の下でのみ、VSG 到達を数えます。

まず SPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が起きておらず、かつ IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の SPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ \begin{eqnarray} &&F_\text{SPF}(t+dt)-F_\text{SPF}(t)\\ &=&\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\}\\ &=&\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\ |\ \sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\ |\ \sigma_\text{VSG}>t\}\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t\}\\ &=&\lambda_{V,\text{IF,SPF}}(t)\cdot 1\cdot R_\text{IF}(t)dt+o(dt) \end{eqnarray} \tag{1073.5} $$

です。さらに、 $$ \lambda_{V,\text{IF,SPF}}(t)dt=\Pr\{\sigma_\text{IF}>t\}\Pr\{\sigma_\text{IF}\in[t, t+dt)\ |\ \sigma_\text{IF}>t\}\\ =R_\text{IF}(t)\lambda_{\text{IF,SPF}}dt+o(dt) \tag{1073.6} $$

本稿は上式に誤りが見つかったのでこの訂正記事を出しています。

を代入してから、$dt$ で割り$dt\to0$ とすると、PMHF 側の SPF 到達密度は

$$ f_\text{SPF}(t)=R_\text{IF}(t)^2\lambda_{\text{IF,SPF}} \tag{1073.7} $$

となります。

本稿は上式に誤りが見つかったのでこの訂正記事を出しています。

同様に DPF 項について、時刻 $t$ までにまだ VSG が起きておらず、かつ SM が潜在故障集合にあり IF が稼働集合にあるとき、その後の微小時間 $dt$ の間に IF の DPF 側故障によって VSG に到達する確率は

$$ \Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}, \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF},\ \eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\}\\ =\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}}dt+o(dt) \tag{1073.8} $$

です。したがって、PMHF 側の DPF 到達密度は

$$ f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.9} $$

となります。

よって、PMHF 側の VSG 初回到達密度は

$$ \begin{eqnarray} f_\text{VSG}(t)&=&f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\\ &=&\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ &&+\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.10} \end{eqnarray} $$

です。

次に PFH 側を考えます。PFH では VSG の全発生回数を数えるので、時刻 $t$ における VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を

$$ E\{N_{t+dt}^\text{VSG}-N_t^\text{VSG}\}=w_\text{VSG}(t)dt+o(dt) \tag{1073.10} $$

と定義します。

このとき、PFH 側の SPF 発生頻度は

$$ w_\text{SPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}} \tag{1073.12} $$

であり、DPF 発生頻度は

$$ w_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.13} $$

です。したがって、PFH 側の VSG 発生頻度は

$$ w_\text{VSG}(t)=w_\text{SPF}(t)+w_\text{DPF}(t) \tag{1073.14} $$

すなわち

$$ w_\text{VSG}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.15} $$

となります。

(1073.10) と (1073.15) を比べると、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャの下でも、PMHF 側の $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の $w_\text{VSG}(t)$ は厳密には一致しません。その違いは、PMHF 側には「まだ VSG が一度も起きていない」ことを表す $\sigma_\text{VSG}>t$ の条件が入っているのに対し、PFH 側にはその条件が無いことです。

この差をそのまま書けば、

$$ w_\text{VSG}(t)-f_\text{VSG}(t) =\Pr\{\sigma_\text{VSG}\le t,\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\sigma_\text{VSG}\le t,\ \eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1073.16} $$

となり、これは前二稿で見た「2 回目以降の VSG 発生の寄与」の時間局所版になっています。

以上より、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャにおいても、PMHF と PFH は厳密には異なる量であり、その違いは PMHF が初回発生だけを数え、PFH が全発生回数を数えるところから生じます。

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10 FIT・1万時間では 2 回目以降の寄与はどれくらいか

前稿の (1071.8) は、PMHF と PFH の厳密差が、寿命区間 $[0,T]$ における 2 回目以降の VSG 発生の寄与であることを示していました。ここでは、その差が実用上どの程度の大きさになるのかを、一定危険故障率を仮定した典型例で見ておきます。

前稿の記号をそのまま使えば、

$$ \mathrm{PFH}(0,T)-\mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)\Pr\{N_T^\text{VSG}=n\} \tag{1072.1} $$

です。

ここで、VSG の発生率を一定とみなし、寿命区間内の VSG 発生回数 $N_T^\text{VSG}$ をポアソン分布で近似します。たとえば、危険故障率を 10 FIT、車両寿命を 1 万時間とすると、

$$ \lambda=10\,\mathrm{FIT}=10^{-8}\,\mathrm{h}^{-1}, \qquad T=10^{4}\,\mathrm{h}, \qquad \lambda T=10^{-4} \tag{1072.2} $$

です。この仮定の下で、前稿の PMHF と PFH はそれぞれ

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\Pr\{N_T^\text{VSG}\ge1\}=\frac{1-e^{-\lambda T}}{T}, \qquad \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}E\{N_T^\text{VSG}\}=\lambda \tag{1072.3} $$

ですから、厳密差そのものは

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{PFH}(0,T)-\mathrm{PMHF}(T)&=&\lambda-\frac{1-e^{-\lambda T}}{T}\approx4.99983334\times10^{-13}\,\mathrm{h}^{-1}\\ &=&4.99983334\times10^{-4}\,\mathrm{FIT} \tag{1072.4} \end{eqnarray} $$

となります。(1072.4) とほとんど同じ値になるのは、この条件では 3 回目以降の寄与がさらに極小だからです。

10 FIT という目標値に対する比で見れば、

$$ \frac{4.99983334\times10^{-4}}{10}\approx4.99983334\times10^{-5}\approx0.005\,\% \tag{1072.5} $$

です。

したがって、10 FIT・1 万時間という典型的な条件では、PMHF と PFH の厳密差は数値的には約 $5\times10^{-4}$ FIT にすぎず、2 回目以降の VSG 発生の寄与は実務上ほぼ無視できる範囲にあります。

この数値例が示しているのは、前稿の (1071.8) が表している「厳密な差」は存在するものの、多くの実用条件ではその差が十分小さい、ということです。

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VSG 計数過程を用いた PMHF と PFH の厳密比較

本稿では危険事象を最初から同じ VSG に固定し、その発生回数を数える計数過程を導入することで、PMHF と PFH を厳密に比較します。

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義されたサブシステム過程 $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ を考えます。VSG に対応する危険集合を $\mathcal P_\text{VSG}$ とし、時刻 $t$ までに発生した VSG の累積回数を表す計数過程を $(N_t^\text{VSG})_{t\ge0}$ とします。VSG の初回発生時刻を

$$ \sigma_\text{VSG}=\inf\{t\ge0\mid N_t^\text{VSG}\ge1\} \tag{1071.1} $$

と定義します。

このとき、寿命 $T$ までに少なくとも一度 VSG が発生した事象は

$$ \Pr\{\sigma_\text{VSG}\le T\}=\Pr\{N_T^\text{VSG}\ge1\} \tag{1071.2} $$

と書けます。したがって PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\Pr\{\sigma_\text{VSG}\le T\}=\frac{1}{T}\Pr\{N_T^\text{VSG}\ge1\} \tag{1071.3} $$

で定義されます。

一方、同じ危険事象 VSG に対して PFH は、その発生回数の期待値から

$$ \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}E\{N_T^\text{VSG}\} \tag{1071.4} $$

と定義されます。

ここで、時刻 $T$ までにちょうど $n$ 回 VSG が発生する確率を

$$ p_n(T)=\Pr\{N_T^\text{VSG}=n\} \qquad (n=0,1,2,\ldots) \tag{1071.5} $$

と書けば、

$$ \Pr\{N_T^\text{VSG}\ge1\}=\sum_{n=1}^{\infty}p_n(T), \qquad E\{N_T^\text{VSG}\}=\sum_{n=1}^{\infty}n\,p_n(T) \tag{1071.6} $$

です。

したがって、PMHF と PFH の差は

$$ \mathrm{PFH}(0,T)-\mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\left(\sum_{n=1}^{\infty}n\,p_n(T)-\sum_{n=1}^{\infty}p_n(T)\right) \tag{1071.7} $$

となり、さらに整理すると

$$ \mathrm{PFH}(0,T)-\mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)p_n(T) \tag{1071.8} $$

を得ます。

すなわち、PMHF と PFH の厳密差は、寿命区間内における 2 回目以降の VSG 発生の寄与そのものです。PMHF は「一度でも起きたか」を見るのに対し、PFH は「何回起きたか」を見るので、この差が生じます。

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