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連続時間マルコフ連鎖とPFH式の導出 |
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PFH の定式化（修理系の危険事象と計数過程）
前稿までは、VSG を吸収集合とするサブシステムに対して PMHF を導きました。本稿からは PFH 側へ移ります。PFH 側では、危険状態に入った後も点検や修理により稼働状態へ復帰し得るので、危険状態集合は一般には吸収集合ではありません。本稿では区間平均量としての PFH を定義します。
サブシステム過程を $(\eta_t^\text{PFH})_{t\ge0}$ とし、稼働集合を $\mathcal M$、危険状態集合を $\mathcal P_\text{DF}$ とします。状態確率行ベクトルと生成行列を
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathbf p^\text{PFH}(t) =\bigl[\mathbf p_M(t)\ \mathbf p_P(t)\bigr], \\ \frac{d}{dt}\mathbf p^\text{PFH}(t)=\mathbf p^\text{PFH}(t)\mathbf Q^\text{PFH}, \\ \mathbf Q^\text{PFH} =\left(\matrix{ \mathbf Q_{MM} & \mathbf Q_{MP} \cr \mathbf Q_{PM} & \mathbf Q_{PP} }\right) \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1061.1} $$
と表します。ここで修理系では、一般に $\mathbf Q_{PM}\neq\mathbf 0$ です。
危険状態の時点不稼働確率を
$$ U_\text{DF}(t) :=\Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal P_\text{DF}\} =\mathbf p_P(t)\mathbf 1 \tag{1061.2} $$
と定義します。ここで $\mathbf 1$ は適切な次元の全成分 1 の列ベクトルです。
一方、稼働集合から危険状態集合への条件付き遷移率、すなわち Vesely 故障率は
$$ \lambda_V^\text{PFH}(t) :=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{PFH}\in\mathcal P_\text{DF}\mid\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}}{dt} =\frac{\mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1}{\mathbf p_M(t)\mathbf 1} \tag{1061.3} $$
です。
したがって、時刻 $t$ における危険状態への総流入頻度は
$$ w_\text{DF}(t) :=\mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1 =\Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}\lambda_V^\text{PFH}(t) \tag{1061.4} $$
と書けます。これは、その時刻に稼働集合にいる確率と、その条件の下で危険状態へ移る率との積です。
他方、$U_\text{DF}(t)$ の時間変化は、危険状態への流入だけではなく、危険状態からの修理復帰にも依存します。(1061.2)を微分し、(1061.1)のブロック行列から $P$成分の前進方程式を取り出し、さらに生成行列の行和ゼロ$\mathbf{Q}_{PP}\mathbf{1}=-\mathbf{Q}_{PM}\mathbf 1$を用いると、危険状態確率の増加率は『流入 minus 流出』に書き直せるので
$$ \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}U_\text{DF}(t) &=& \frac{d}{dt}\bigl(\mathbf p_P(t)\mathbf 1\bigr)\\ &=& \mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1+\mathbf p_P(t)\mathbf Q_{PP}\mathbf 1\\ &=& \mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1-\mathbf p_P(t)\mathbf Q_{PM}\mathbf 1 \end{eqnarray} \tag{1061.5} $$
となります。最後の等号では、各行の行和が 0 であることから $\mathbf Q_{PP}\mathbf 1=-\mathbf Q_{PM}\mathbf 1$ を用いました。したがって、修理系では一般に $dU_\text{DF}(t)/dt$ と $w_\text{DF}(t)$ は一致しません。
ここで、危険状態集合への進入回数を数える計数過程を $N_\text{DF}(t)$ とします。微小時間 $dt$ の間にその期待増分は
$$ E\{N_\text{DF}(t+dt)-N_\text{DF}(t)\} =w_\text{DF}(t)dt+o(dt) \tag{1061.6} $$
となるので、$W_\text{DF}(t):=E\{N_\text{DF}(t)\}$ とおけば、(1061.6)を$dt$で割って $dt\rightarrow0$とすると
$$ \frac{d}{dt}W_\text{DF}(t)=w_\text{DF}(t) \tag{1061.7} $$
です。
したがって、区間 $[0,T]$ における平均危険事象発生頻度は
$$ \mathrm{PFH}(0,T) :=\frac{1}{T}W_\text{DF}(T) =\frac{1}{T}\int_0^T w_\text{DF}(t)\,dt \tag{1061.8} $$
と定義できます。
さらに、希少事象近似の下で
$$ \Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}\approx1 \tag{1061.9} $$
とみなせるとき、(1061.4)から
$$ w_\text{DF}(t)\approx\lambda_V^\text{PFH}(t) \tag{1061.10} $$
となります。したがって PFH は、Vesely 故障率の時間平均としても読めます。
ここで重要なのは、修理系では危険事象が繰返し起こり得るため、PFH が本質的に計数過程 $N_\text{DF}(t)$ に基づいて定義される、という点です。次稿では、この修理系の PFH と、吸収型の初回到達量としての PMHF とを、同じ確率論の枠で比較します。
